1. Rayleigh-Sommerfeld Integral
$E(x,y,z) = \frac{1}{2\pi} \iint_{-\infty}^{+\infty} E(x', y', 0) \frac{e^{-ikr}}{r} \frac{z}{r} \left( ik + \frac{1}{r} \right) dx' dy'
$
$E(x,y,z) = \frac{k}{2\pi} \iint_{-\infty}^{+\infty} E(x', y', 0) \frac{e^{-ikr}}{r} \frac{z}{r} \left( 1 + \frac{1}{ikr} \right) dx' dy'$
- 소스평면: $z'=0$,
- 소스평면상 E-field: $E(x',y',0)$
- 경사인자: $cos\theta\to \frac{z}{r}$
- 참고: 관측 거리가 파장에 비해 매우 먼 원거리($(k \gg 1/R)$) 조건에서는 괄호 안의 $(\frac{1}{R})$이 무시되어 호이겐스-프레넬 식과 유사해짐
2. Retarded Vector Potential Integral
- 안테나 공학에서 주로 활용: 도선이나 구조물에 흐르는 전류밀도 J로 부텉 방사되는 전파를 구할 때 주로 사용됨
$\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint_{V'} \mathbf{J}(\mathbf{r'}) \frac{e^{-ik|\mathbf{r} - \mathbf{r'}|}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} \, dV'$
- 참고: 이 적분으로 $\mathbf{A}$를 먼저 구한 후, Maxwell 방정식 $ \mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}, \mathbf{E}= \frac{1}{-j \omega \epsilon} \nabla \times \mathbf{H} $ 를 취해 최종 방사전계를 구함
3. Stratton-Chu Formula
- Maxwell 방정식을 만족하는 그린 정리의 최종형태
- 단힌 표면 S'위의 전계와 자계 분포를 통해 외부로 방사되는 전계를 구하는 수식 ▶ 전자기 수치해석에서 주로 활용
$ \mathbf{E}(\mathbf{r}) = \iint_{S'} \left[ -i\omega\mu (\hat{\mathbf{n}} \times \mathbf{H}) G + (\hat{\mathbf{n}} \times \mathbf{E}) \times \nabla' G + (\hat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{E}) \nabla' G \right] dA' $
- 참고: 소스가 없는 자유공간 해석시 3중 적분항은 0이 됨
- 참고: 안테나의 개구면이나 레이더에 부딪혀 산란되는 복잡한 전자기장을 컴퓨터(EM 시뮬레이터)로 수치 해석할 때 쓰이는 핵심 격자 방정식
4. Angular Spectrum Integral
- 공간상의 파동 전파 적분을 주파수 도메인(K-space)에서의 2차원 퓨리에 변환 문제로 치환한 식
- 수치해석 시 FFT(고속 퓨리에 변환) 알고리즘을 쓸 수 있어 계산 속도가 압도적으로 빠름
$ \mathbf{E}^s(\mathbf{r}) \approx -i\omega\mu \frac{e^{-ikr}}{4\pi r} \iint_{S_{\text{lit}}} \mathbf{J}_{PO}(\mathbf{r'}) e^{ik\mathbf{r'} \cdot \hat{\mathbf{r}}} \, dA' $
- $A(k_x, k_y)$: $z=0 $인 초기 평면에서의 파동 분포 $U(x,y,0)$를 2차원 퓨리에 변환하여 얻은 평면파 스펙트럼 함수
- $e^{-iz\sqrt{k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}}$: 평면파 성분들이 $z$축 방향으로 거리만큼 전파될 때 더해지는 위상 전달 함수 (Propagator)
- 참고: 만약 $k_x^2 + k_y^2 > k^2$ 가 되면 루트 안이 음수가 되어 지수 감쇄하는 소멸파(Evanescent Wave) 성분이 되며, 이는 근접장(Near-field)에서만 존재하고 원거리로 방사되지 못함
댓글