Integral Asymptotics- Stationary Phase Method

1. 다음의 적분식에서 𝜆≫1인 경우 성질 살펴보자.

$ I( \lambda)=\int_{a}^{b}f(t)e^{i \lambda g(t)}dt $

여기서 f와 g는 충분히 부드러운 곡선이어서 [a b] 영역의 몇개의 지점 근처에서 Taylor 근사가 가능하고,  g는 실수값을 가지는 함수이다.

2. (a,b)의 영역안의 점 c, 즉 $c \in (a,b)$에서 ${g}'(c) = 0$이고 영역의 나머지 지점에서는 ${g}'(c) \neq  0$이라고 가정하자. 또한 점 c에서 ${g}''(c) \neq 0$과 ${f}(c) \neq  0$ 이라고 가정하자. 𝜇를 ${g}''(c) $의 부호로 $\mu {g}''(c) = | {g}''(c) |$로 쓸 수 있다.

$I(\lambda)$를 다음과 같이 다시 적자.

$ I( \lambda)=e^{i \lambda g(c)}\int_{a}^{b}f(t)e^{i \lambda [g(t)-g(c)]}dt $

적분에서 $exp(i \lambda [g(t)-g(c)])$은 위상항으로 𝜆≫1 이기 때문에 t가 c 근처에서만 1에 가까운 값을 가지고 $t \neq c$인 경우 매우 빠르게 진동 (oscillation)한다. 적분자체가 매우 짧은 구간의 값들을 더하는 것을 의미하는데 위상항이 어떠한 값을 가질지 알 수 없기 때문에 t가 c 근처인 경우를 제외하고는 더하면 결국 0으로 감소하게 된다. 따라서 적분 구간이 [a, b]이지만 실제 적분의 의미를 가지는 곳은 c 근처이므로 다음과 같이 다시 적을 수 있다. 

$I( \lambda) \approx e^{i \lambda g(c)}\int_{c-\varepsilon }^{c+\varepsilon}f(t)e^{i \lambda [g(t)-g(c)]}dt $

적분구간이 c 근처로 한정되어 있으므로 적분내 f(t)값 역시 c 근처의 값만 필요하다. 또한, g(t)의 Taylor approximation을 이용하여 $ g(t) \approx g(c)+{g}'(c)(t-c)+{g}''(c)(t-c)^{2}$으로 근사화할 수 있고, 앞에서  ${g}'(c) = 0$이라고 가정한 것을 함께 적용하면 적분식은 다음과 같이 적을 수 있다. 

$I( \lambda) \approx f(c)e^{i \lambda g(c)}\int_{c-\varepsilon }^{c+\varepsilon}e^{ \frac{i \lambda}{2}{g}''(c)(t-c)^{2}}dt$

적분구간을 [a, b]에서 대부분의 의미있는 값이 c 근처에만 있기 때문에 $[c-\varepsilon, c+\varepsilon]$으로 대체 하였고, f(t)를 적분식 밖으로 빼냈기 때문에 적분구간을 다시 $[-\infty, \infty]$로 다음과 같이 근사화할 수 있다.

$I( \lambda) \approx f(c)e^{i \lambda g(c)}\int_{-\infty  }^{\infty}e^{ \frac{i \lambda}{2}{g}''(c)(t-c)^{2}}dt $

$t-c=s$로 치환하여 적분변수를 t가 아닌 s로 하여 다음과 같이 간단하게 적을 수 있다.

$I( \lambda) \approx f(c)e^{i \lambda g(c)}\int_{-\infty  }^{\infty}e^{ \frac{i \lambda}{2}{g}''(c)s^{2}}ds $

다음의 Gaussian Integral을 이용할 수 있다. 

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}\\
\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x+b)^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$

위 Gaussian Integral을 적분식에 적용하면 다음과 같다.

$I( \lambda) \approx f(c)e^{i \lambda g(c)} \sqrt{\frac{2 \pi i}{\lambda g''(c)}}\\
\quad =f(c)e^{i \lambda g(c)} \sqrt{\frac{2 \pi i}{\lambda g''(c)}}\\
\quad =f(c)e^{i \lambda g(c)} \sqrt{\frac{2 \pi }{\lambda |g''(c)|}}(i \mu)^2\\
\quad =f(c)e^{i \lambda g(c)} \sqrt{\frac{2 \pi }{\lambda |g''(c)|}}e^{\frac{\pi i \mu}{4}}\\$

따라서 최종적으로 다음과 같이 다시 적을 수 있다. 

$I( \lambda) \sim  f(c)e^{i \lambda g(c)} \sqrt{\frac{2 \pi }{\lambda |g''(c)|}}e^{\frac{\pi i \mu}{4}}, \quad as \lambda\rightarrow \infty $

적분에 주로 기여하는 것이 위상 g(t)가 stationary한 포인트 c 근처에서만 이루어지기 때문에 "stationary phase approximation"이라고 부른다.