[펌] Ergodic Process, 랜덤 프로세스

[출처1] http://myhome.hanafos.com/~hwalkim/100/ergodic-process.htm
[출처2] http://cafe.naver.com/physvoyage

1. 개요

o 랜덤 프로세스 =  무한히 많은 확률 변수 (Random Variables)의 집합
  일반적으로 확률변수를 시간에 대한 함수로 확장한 것을 Random Process 혹은 Stochastic Process라고 함.

o 결정 신호 (Deterministic Signals) 에서는 시간 함수로써 파형의 데이터를 연구하는 데 비하여, 랜덤 프로세스에서는 어느 한 시점에서의 모든 샘플 함수의 값을 알아야 함.
  (앙상블 통계, Ensemble Statistics)

o Ergodic Process는 어떤 샘플 함수에 대해서도 앙상블 평균이 시간 평균과 같은 경우를 말함.

2. 랜덤 프로세스의 분류

가. Wide-sense Stationary Random Process
o 어떤 프로세스의 평균(1차 평균)과 자기 상관함수(2차 평균)가 시간 축에 무관한 경우

나. Stationary Random Process
o 시간에 따라 통계적 특성이 변하지 않는 랜덤 프로세스
o n 차 통계에 대해 모두 시간 축의 이동에 대해 무관하다면 Strictly Stationary 하다고 함.

다. Ergodic Process
o 어떤 함수에 대해서도 앙상블 평균이 시간 평균과 같은 경우

* Random Processes > Wide-sense Stationary > Stationary > Ergodic

3. Ergodic 프로세스의 중요성

o 실제 상항에서 많은 Stationary 프로세스들은 평균이나 자기 상관과 같은 2차 평균까지는 Ergodic 함.
o 앙상블 평균을 계산하기에 충분한 샘플 함수들을 실제로는 갖을 수 없음.
o 어떤 랜덤 프로세스가 Ergodic 하다고 알려지면, 앙상블 평균을 구하기 위하여 단순히 하나의 샘플 함수만 있으면 됨.
o 선형 시스템과 연계하여 Stationary 프로세스를 다룰 때 1차 평균 또는 2차 평균 만 알면 되고, 그러므로 대부분의 경우에 하나의 샘플 함수만 있으면 됨.

4. 물리에서의 의미? ('ergodic theorem')

o 위상공간(phase space) 상에서의 시스템의 운동을 기술함에 있어서 시간평균과 공간평균(확률밀도)이 asymtotically 같다라는 정리
o 위상공간에서 운동하는 어떤 임의의 시스템을 기술하는 것이나, 여러개의 앙상블(replication)로 기술하는 것이나 같은 결과를 준다는 것을 의미