정적분 (리만합, 함수의 평균)

Theorem
구간 [a, b]에서 정의된 임의의 함수 f에 대하여, a로부터 b까지 f의 정적분은 다음과 같다.

여기서 x_i-x_i-1=Δx이고 계산점 c_i는 일반적으로 다음의 3가지 중 하나를 선택하여 사용할 수 있다.

함수의 평균값 
임의의 구간 [a, b]에서 함수 f의 평균값을 계산하기 위하여 먼저 함수값의 표본을 추출할 몇개의 점들을 택하고, 다음과 같이 [a, b]의 분할을 만든다.

여기서 인접한 점들의 차는 다음과 같다.

이 때 평균값 f_ave는 x₁,x₂, ..., x_n에서 함수값의 평균에 의해 다음과 같은 근사값으로 계산한다.

마지막 식의 합이 리만합이다. 또한 더 많은 표본점들을 택하면 근사값이 더욱 정확해진다는 것을 알 수 있다. 따라서 n→∞일 때 평균값을 나타내는 적분을 다음과 같이 쓸 수 있다.

unweighted average 개념을 이용한 조금더 일반적으로 표현한 평균은 다음과 같다. (참고 링크 : http://woof.tistory.com/468)